Deutsche Uhrmacher-Zeitung

No 15 Deutsche Uhrmacher-Zeitung 117 Aus der Werkstatt. Apparat zur Veranschaulichung der Eingriffsfehler. Die Funktion der Eingriffe in Taschenuhren ist wegen der Kleinheit der in Betracht kommenden Theile ausserordentlich schwierig zu analysiren, insbesondere wenn es sich um einen Eingriff mit Trieb von geringer Zahnzahl handelt, wie z. B. beim Sekundenradseingriff. In den Uhr macherschulen, denen alle technischen Hilfsmittel zu Gebote stehen, werden deshalb zum Studium dieser Eingriffe grosse Modelle aus Holz oder Zink benutzt, die sich beliebig verstellen lassen und die "Wirkung der verschiedenen Zahnformen oder Eingriffstiefen deutlich veranschau lichen. Auch für die Reparaturwerkstatt wären derartige Modelle als Hilfsmittel bei der Anleitung von jungen Leuten von grossem Werth- leider sind jedoch die Kosten dieser Apparate so hoch, dass ihre all gemeinere Einführung aus diesem Grunde unmöglich ist und ihr Gebrauch sich wohl für immer auf die eigentlichen Lehranstalten beschränken wird. Unter solchen Umständen dürfte es für manchen Kollegen von Interesse sein, durch nachstehende Beschreibung einen einfachen Apparat kennen zu lernen, der den gleichen Zweck wie jene kostspieligen Modelle erfüllt • Dieser Apparat, welcher von dem Direktor der Genfer Uhrmacherschule, Herrn J. Rambal, in einer grösse ren Abhandlung über die Eingriffe beschrieben wurde, besteht im "Wesent lichen aus z wei rechteckigen Rahmen A, Fig 1 und B, Fig. 2, von denen der erstere mit einer besonderen Vorrichtung versehen ist, welche zum Verstellen der Eingriffe dient. Diese beiden Rahmen werden auf ein ander gelegt und vermittelst eines durch die Löcher a und b gesteckten Stiftes, verbunden. Der Rahmen B ist von rückwärts mit durchscheinendem Pauspapier überzogen, auf welchem ein Theil des Rades, mit dem Mittelpunkt in b, aufgezeichnet wird, wobei man gleichzeitig den (in Fig. 2 punktirt an gegebenen) Grundkreis des Rades mit aufzeichnet. Diesen Grundkreis kann man mit Gradtheilung versehen, um nachher die Weiterbewegung des Rades abmessen zu können. In dem Rahmen A ist in derjenigen Höhe, wo sich der Eingriff vollzieht, eine Glasscheibe G eingesetzt, auf welcher ein senkrechter Strich d die Mittellinie des Eingriffs, d. i. die Verbindungslinie der beiden Drehpunkte a und c angiebt. Der Mittel punkt c des Triebes befindet sich auf einem wagrechten Stab C, der im Punkt e drehbar an dem Rahmen A befestigt ist und mittelst eines Excenters E an seinem freien Ende höher oder tiefer gestellt werden kann. Die Zeichnung des Triebes nebst seinem Grundkreise wird eben falls auf durchscheinendem Papier entworfen und mit einem Stift drehbar in dem Mittelpunkt c auf der Vorderseite des Stabes C befestigt. Legt man nun den Rahmen B auf den Rahmen A und steckt einen Stift durch die beiden Löcher b und a, so kann man, indem man den Apparat in senkrechter Stellung gegen das Licht hält, die Zähne des gezeichneten Rades in diejenigen des Triebes eingreifen sehen. Denkt man sich in der Zeichnung z. B. die Rahmen B und A so auf einander gelegt, dass sie sich decken, so wird der mit 1 bezeichnete Radzahn an der mit der Mittellinie d zusammenfallenden Triebzahnflanke anliegen. Dreht man alsdann den Rahmen B mit der Radzeichnung in der Richtung des Pfeils, Fig. 2, und ebenso die Zeichnung des Triebes in der Richtung des Pfeils’ Fig. 1, so kann man nicht nur die genaue Stellung der Rad- und Trieb zähne zu einander in jedem Augenblick beobachten, sondern auch wenn die Grundkreise des Rades und Triebes mit Gradtheilung versehen sind — die Bewegungswinkel beider Theile abmessen. Wie der in Fig. 1 punktirt angedeutete Grundkreis des Rades an giebt, würde in der Stellung von Fig. 1 und 2 der Eingriff in der Tiefe richtig sein. Durch Drehung des Excenters E, an welchem man den Stab C beständig anliegen lässt, kann man den Eingriff beliebig seichter oder tiefer stellen und dabei beobachten, wie im ersteren Falle der in’s Trieb eintretende Radzahn auf dem Triebstock aufsetzt, während im letzteren Falle das schnelle Weitergleiten des aus dem Trieb austretenden Radzahns und der Nach fall des eintretenden Zahns nicht nur sichtbar, sondern infolge der Grösse der Zeichnungen und der an den Grundkreisen aufgetragenen Gradtheilung auch messbar wird. Wenn man den Apparat nicht zu klein — etwa wie eine grössere Schiefertafel anfertigt, so wird die Demonstration mit demselben ausserordentlich deutlich. Beim Gebrauch stellt man die Vorrichtung auf die beiden Füsse f f, während man den Stab C mit seinem freien Ende an dem Excenter E anliegend erhält und mit der anderen Hand den Rahmen B, bezw. die Triebzeichnung weiterdreht. Durch Anwendung verschiedener Trieb- und Radzeichnungen mit abweichenden Zahnformen und verschiedenen Zahnzahlen, durch Einstellen zu gross oder zu klein gezeichneter Triebe etc. kann man die Zahl der mit diesem Apparat an- una tur wenige Groschen zu beschaffen ist. Fig. 1. Fig. 2. II • ’ — fifel I 1 ! 1 ^ 1 A '\ | a ff'I & r ■ 1 u 1 II tf * f welcher den Mittelpunkt des Rades vorstellt, zustellenden Experimente fast in’s Unendliche vermehren und ihn so zu einem werthvollen Hilfsmittel bei der Erklärung von Eingriffsfehlern gestalten. g g Die Zahl 7t. Mit dem ^ griechischen Buchstaben n, bezeichnet man bekanntlich in der Mathematik das Verhältniss des Kreisumfanges zum Durchmesser welches Verhältniss irrational ist und demnach als ein sogenannter un vollständiger Dezimalbruch resultirt. Auf 25 Stellen berechnet ist » = 3,1415926535897932384626434 Die Entwicklung vieler Dezimalstellen hat jedoch keinen praktischen Werth und es genügen für die meisten praktischen Rechnungen die ersten 2 bis 7 Stellen. Mit Rücksicht nun auf die grosse Bedeutung dieses Verhältnisses in der Mathematik wollen wir hier auseinandersetzen, in welcher Weise sich schon die Alten um die Bestimmung desselben bemühten, und zu gleich zeigen, wie dasVerhältniss durch einfachere elementar-mathematische Methoden berechnet werden kann. Schon die alten Egypter hatten eine ziemlich gute Kenntniss dieses' Verhältnisses. In einem Papyrus des British Museum in London (A. Eisenlohr. Ein mathematisches Handbuch der alten Egypter. B. 9. —— Teubner, Leipzig, 1877) wird die Verwandlung eines Kreises in ein flächengleiches Quadrat behandelt und daselbst angegeben, dass die Seite eines solchen Quadrates dem um '/ 9 seiner Länge verminderten Kreis durchmesser gleich sein muss. Mit anderen Worten wird behauptet dass der Flächeninhalt eines Kreises dem um */ 9 verminderten und hierauf zum Quadrat erhobenen Durchmesser gleich ist Also wenn man den Durchmesser mit d bezeichnet, den Flächeninhalt mit f, so ist 1) f = (d_-|d)> = Um daraus zu berechnen, welchen Werth der egyptische Verfasser jenes Handbuches der Verhältnisszahl n beimass, haben wir nur für f die uns bekannte Formel zu setzen: , „ d 2 ?r f = r s 7T — —— 4 und die beiden Werthe einander gleich zu stellen. Wir hätten also — = (-d) 2 4 '9 ' Man erhält nacheinander: d2jr 64 « 64 4 81 4 81~ , 64 71 — 4 -gj- jr = 3 : 16 Von dem wirklichen Werth weicht dieser nur um 0,02 ab. Wir können nicht wissen, in welcher Weise die damaligen Mathematiker auf dieses Resultat kamen. Das Erscheinen der Gleichung 1) — ob in Worten oder Zahlen, ist einerlei — im genannten Buche beweist uns aber, dass sie das Verhältniss in der angegebenen Näherung kannten. Die andere Irage, ob man sich des Bewusstseins klar war, dass die Zahl nur ein Näherungsverhältniss angab, oder ob man an die genaue Richtigkeit des Ergebnisses glaubte, bleibt wohl unbeantwortet. ,.? s .verschiedene Anzeichen vor, dass dieses Näherungs verhältniss auch den älteren Griechen bekannt war; Bestimmtes liegt uns aber in dieser Hinsicht nicht vor und wir wollen unsere Leser mit den Muthmassungen, die darüber aufgestellt wurden, auch nicht weiter aufhalten. Die naheliegende Idee, dem Kreis ein regelmässiges Vieleck von unendlich grösser Seitenzahl, von unendlich kleinen Seiten also einzu schreiben und auf diesem Wege zur Quadratur des Kreises zu gelangen, fasste der athenische Sophist Antiphon, ein Zeitgenosse des Sokrates. Er schrieb dem Kreise ein Quadrat ein, schritt — von diesem ausgehend ~ z y r ?.®”> 32-Eck u. s. w. und kam zu der Folgerung, dass man durch hinlängliche Fortsetzung dieses Verfahrens zu Vielecken gelangen müsste, deren Seiten mit dem Kreisumfange zusammenfielen. Da nun die Verwandlung einer geradlinig begrenzten Figur in ein flächengleiches Quadrat bekannt war, so befand sich Antiphon auf dem richtigen und möglichen Wege. Allein .damals hatten sich die Begriffe vom unendlichen Kleinen noch nicht entwickelt und so blieb auch Antiphon gewisser- massen auf halbem Wege stehen. Plin^ anderer Sophist, Bryson von Heraklea, zog aus dem Um stande, dass die Kreislinie kleiner als ein umschriebenes und grösser als em eingeschriebenes Polygon ist, den fehlerhaften Schluss, die Kreis fläche sei das arithmetische Mittel aus einem eingescüriebenen und dem zugehörigen umschriebenen Vieleck. Vielfach hat sich mit diesem Problem Hippokrates beschäftigt, der jedenfalls wusste, dass die Kreisfläche dem Quadrate des Durchmessers proportional ist. Hat man nämlich zwei Kreise vom Durchmesser D und d, so ist, wenn man ihre Flächen mit F und f bezeichnet j dV und daher woraus F : f = D 2 : d 2 1