Deutsche Uhrmacher-Zeitung

No. 12 Deutsche Uhrmacher-Zeitung 93 Axe dient. Die Gradtheilung für den Zeiger F befindet sich auf dem Minutenradskloben bezw. der Dreiviertelplatine M. Die Hin- und Herbewegung des Zeigers F bezw. des Rades B wird durch die Länge des verzahnten Theiles von A auf das zulässige Mass beschränkt, indem natürlich der Zeiger F sich nur soweit drehen lässt, bis die Zähne von B auf den nicht verzahnten Theil von A aufstossen. Da das gegabelte Ende des Rückers R dreimal so weit als die Spiral stifte vom Drehpunkt des Rückers absteht und der Stift H etwa in ®. 3 der Entfernung vom Drehpunkt bis zum Umfang von A angebracht ist, da ferner das Rad B nur halb so gross wie A ist und der Zeiger F die 3 1 /äfache Länge des Halbmessers von B hat, so ergiebt eine einfache Rechnung, dass die Bewegung der Zeigerspitze F zu derjenigen der Rückerstifte wie 63 : 2 sich verhält, d. h. die Rückerstifte verschieben sich nur um 2 / B 3 von dem Betrag, der an dem Zeiger F auf der Skala gerückt wird. Hierbei ist natürlich vorausgesetzt, dass der Eingriff von A mit B keine Zahnluft hat; ist dieser Bedingung genügt, so kann man mit vor liegender Vorrichtung thatsächlich ausserordentlich kleine Abweichungen reguliren. Die Ableitung der Formel zur Berechnung des Quecksilber-Kompensationspendels. Von C. Dietzschold, Direktor der k. k. Uhrmacherschule in Karlstein. So einfach die Idee ist, welche dem Quecksilberkompensationspendel zu Grunde liegt, so existirt doch unseres Wissens für die Berechnung desselben noch heute keine richtige Formel. Das genannte Pendel besteht bekanntlich aus dem Pendelstabe, an dessen unterem Ende ein Gefäss mit Quecksilber befestigt ist. Stab und Quecksilbersäule dehnen sich bei Temperaturzunahme aus. Wenn ihre Längen so bemessen sind, dass der Schwerpunkt der Quecksilbersäule sich so viel hebt als der Boden des Gefässes durch die Ausdehnung des Stabes sinkt, so bleibt der Schwerpunkt in der gleichen Entfernung von der Pendelaxe. Das Pendel behält auch bei Temperaturänderungen seine wirksame Länge, d. h. es kompensirt. Demnach handelt es sich nur daium, das Verhältniss der Pendelstablänge zur Quecksilbersäulenhöhe zu finden. Hierbei ist indess noch in Betracht zu ziehen, dass das Material des Gefässes selbst sich ebenfalls in der Wärme ausdehnt und in der Kälte zusammenzieht, sein Einfluss also auch in die Rechnung einbezogen werden muss. Viele Uhrmacher nehmen noch an, dass der Querschnitt des Gefässes die Höhe der Quecksilbersäule mitbestimme. Wir werden im Verlauf dieser Arbeit sehen, dass dies nicht der Fall ist. Zu. letzterer Ansicht bekennt sich übrigens auch Saunier in der von ihm aufgestellten Formel r worin h die Höhe der Quecksilbersäule, 1 die Pendelstablänge, r den Halbmesser des Quecksilbergefässes, innen gemessen, « den Ausdehnungskoefficienten des Pendelstabmaterials bedeutet. Saunier vernachlässigt also in der That den Einfluss des Gefässmateriales. Für eine Pendelstange aus Zink (!) und r = 3,54 cm erhält man bei einem Sekundenpendel 9,44 cm, wird aber eine Stahlstange benützt, gar nur 5,93 cm als Quecksilberhöhe!! — M. Grossmann hat nun in der Uebersetzung des Saunier’schen Werkes (III. Bd. Seite 381) eine andere, auch nicht ganz richtige Berechnung gegeben. . j Er bringt bei dem Gefässe den körperlichen Ausdehnungskoefficienten in die Rechnung, während es sich hier nur um den Fläehenausdehnungs- koefficienten handeln kann. — Dies geschieht auf Grund der Formel von Weisbach, welche aber für Quecksilberthermometer berechnet ist, wo die Glaskugel das Queck silber allseitig umschliesst und nur eine feine Austrittsöffnung für dasselbe vorhanden ist. Die richtige Ableitung ist folgende: Bezeichnen wir mit a den linearen Ausdehnungskoefficienten des Quecksilbers, ß denjenigen des Stahles, ;■ den des Gefässmateriales, 1 die Länge des Stahlstabes \ . • , r , h Höhe des Quecksilbers 1 ’’ dann wäre also bei Erwärmung von 0° auf 100° die Ausdehnung des Pendelstabes l.ß die des Quecksilbers h . a die Hebung seines Schwerpunktes h 2 wenn dasselbe in einem Gefässe eingeschlossen wäre, das sich gegen Temperaturänderungen ebenso empfindlich wie Quecksilber zeigte. Das ist aber nicht der Fall. Die Ausdehnung der Quecksilbergefässwände ist geringer, also wird die Quecksilbersäule höher getrieben. Die unter diesen Umständen entstehende Höhe wollen wir nun berechnen: Ist ein Gefäss mit kreisförmigem Querschnitt angenommen, der Halbmesser sei bei 0° C . . . r dann ist er „ 100° C . . . r (1 —j—;-) und die Querschnittsfläche bei 0° C . . . r®. „ 100° C . . . r (1 -f- yf . * = r ®. jt . (1 + yf. War das Volumen des Quecksilbers bei (F C r® . 71 . h so ist es bei 100° C r . (1 4 «) . r (1 4 «) . -t . h (14- «) = r 2 . .-r . h . (1 -j- «) 3 und da dies Volumen jetzt in einer Säule mit einem Kreisquerschnitt von r* . n . (1 -f- yf enthalten ist, so muss die neue Höhe h' sich ergeben aus r 2 . n- . (1 4 yf . h' = r* . n . h (1 4 «) 3 (1) also h- = l ’~ • ^ • 11 (1 + — (1 + a f h CH r 2 . . (1 4 yf. (1 4 '/f Dieser Ausdruck lässt sich mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes in anderer Form ausdrücken: IT = (1 -f af . (l 4. yf . h = h . (1 + 3 « + 3 «® + « 3 ) (1 — 2 y 4 3 y 2 — 4 y 2 4 5 y 5 . . . .) = h (143« — 2 y 4 3 «® — 6 « y 4 3 y® 4 “ 3 — 3 «® y -f- 3 « y 2 . . . .). Da « und y kleine Werthe sind, so können wir alle Ausdrücke zweiten und höheren Grades vernachlässigen, also 3 « 2 , 6 « y, 3 y 2 « 3 u. s. w., sodass für h' der sehr einfache Werth h' = h (1 4 3 « — 2 y) (3) verbleibt. Der Ausdehnungskoefficient des in einem Gefäss eingeschlossenen Quecksilbers ist demnach gleich dem dreifachen linearen Ausdehnungs koefficienten des Quecksilbers, weniger dem zweifachen des Gefässmaterials. Damit nun die Ausdehnung des Pendelstabes und die Hebung des Quecksilberschwerpunktes gleich gross werden, muss sein: l.;*=|. (3 « - 2 y) (4) und daraus h = 2 .1. (5 ) In der Praxis ist im Allgemeinen die mathematische Pendellänge L gegeben, deshalb formen wir diesen Ausdruck am besten etwas um. — 1-L+ 1 ; und damit h_2 .( L +j)-—4-p woraus endlich folgt: Höhe der Quecksilbersäule h = 2 . L . — £ (6) 3 a — 2 y — ß Der Querschnitt der Quecksilbersäule kommt hier nicht mehr in Betracht, und das mit Recht. Man giebt gegenwärtig dem Quecksilber- Kompensationspendel stählerne Pendelstangen. Der lineare Ausdehnungs- koöfficient von weichem Stahl ist ß = 0,00108, derselbe für Quecksilber « = 0,00601 „ „ Glas y = 0,00078 „ „ Gusseisen y == 0,001075 „ „ Schmiedeeisen y = 0,001228 „ „ Stahl, ungehärtet y = 0,00115 womit für Quecksilberpendel, wenn das Quecksilber in Glasgefäss: h = 2 . L t == 0,1501. L = -4- . L 3 « — 2 y — ß 6,661 in Gusseisengefäss: h = 2 . L. f = 0,1562 . L = - • L. 3 « — 2 y — ß 6,400 Hiernach würde die Quecksilbersäule für das Sekundenpendel in Stahlgefäss li == 0,1578. L = ^ . L DjGu 0 in Schmiedeeisengefäss h = 0,1593 . L = ^ . L bei Glasgefäss 149,2 mm ,, Gusseisengefäss 155,3 „ ,, Stahlgefäss 156,9 ,, „ Schmiedeeisengefäss 158,6 „ sein (die Länge des Sekundenpendels L = 0,9938 m angenommen). Diese Werthe sind kleiner als wir sie in den Lehrbüchern manchmal finden. Dies kommt zum Theil daher, dass in der Rechnung der Stahlstab als «gehärtet» angenommen ist, was mit der Wirklichkeit gar nicht übereinstimmt; dann freilich erhält man, indem nun a = 0,006006, ß = 0,00123, y = 0,00078 ist, für Glasgefäss ß 2 . 0,001225 . L h = 2 . L 3 „ _ 2 y — ß 0,01802 — 0,00156 — 0,00123 0,00245 T _ 0)160g7 L = L 0,01523 ’ 6,216 Da der Pendelslab wohl durch das Ziehen des Stahles eine etwas härtere Oberfläche erhalten hat, aber keineswegs als „gehärtet“ angenommen werden darf, so müssen wir letztere Formel als unrichtig bezeichnen. In manchen Pendeln findet man indess die Quecksilbersäulenhöhe bis 18 cm, was eine bedeutende Ueberkompensation bedingt. — 1