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Jahresbericht über das Realgymnasium zu Zwickau
- Bandzählung
- 29.1896/97,Beil.
- Erscheinungsdatum
- 1897
- Sprache
- German
- Signatur
- Math.552,4.bo
- Vorlage
- SLUB Dresden
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Lizenz-/Rechtehinweis
- Public Domain Mark 1.0
- URN
- urn:nbn:de:bsz:14-db-id398086478-189600014
- PURL
- http://digital.slub-dresden.de/id398086478-18960001
- OAI-Identifier
- oai:de:slub-dresden:db:id-398086478-18960001
- Sammlungen
- Saxonica
- Strukturtyp
- Band
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Titel
- Geschichtliche Bemerkungen zur Aufzählung der Vielflache
- Autor
- Brückner, Max
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Artikel
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Titel
- Jahresbericht über das Realgymnasium zu Zwickau
- Autor
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15 Es gilt dann die Gleichung: p —j— q —(— r == 2n —^ 2, denn die Eckensutnme p -(- q -|- r enthält von den 2n — 4 Ecken des Vielflachs die sechs gemeinsamen Ecken der drei Flächen doppelt gezählt. Ferner ist p — 4 x x -j- x 2 -(- z 3 -)- z„, q = 4 -)- x 1 -|- x 2 -(- j t -)- y.,, r =■ 4 -j- y x -(- y„ -)- z 1 -J- z„ und daraus ergeben sich die Werte 2 (xj -{-x.,) p —|— q — r — 4, 2 (yi+y 2 ) = — p + fl + " r — 4 ’ 2 ( z i + z a) = p — i + r — 4 - e) Haben schliefslich die drei Flächen (p), (q), (r) eine Ecke gemein, so möge der Zusammen hang derselben mit dem im vorigen Falle übereinstimmen, nur ist jetzt x 2 = y., — z 2 = 0. Die Gleichungen selbst werden aber andere, weil die allen drei Flächen gemeinsame Ecke dreifach, die drei ändern Ecken der gemeinsamen Kanten aber wieder nur doppelt gezählt sind, d. h. es ist hier p —|— (q — 2) —j— (r — 3) = 2n — 4, oder p —|— q —J— r 2n -j- 1. Dazu kommen die Gleichungen p = 3-)-x-j-z, q — 3 -j- x -|- y, r — 3 —|— y —j— z, welche durch Auflösung ergeben: 20 ) 2x — p -j- q r — 3, 2y — — p -f- q -f- r — 3, 2z — p — q-f-r — 3. Beispiel. Ist n — 9, also p —(— q —j— r = 19, so ergeben sich, da man wegen der Gleichwertigkeit der drei Flächen p — q = r voraussetzen kann, die folgenden vier Stammsysteme der angemerkten vier Neunflache: P = 8, q = 7, r — 4, x = 4, y - o, z — 1. Fig. No. 13. P — 8, q — 6, r — 5, x — 3, y o, z : 2. No. 15 b. P 7, q = 7, r — 5, x — 3, y — i s z — 1. No. 7 b. P — 7, q = 6, r — 6, x - 2, y i, z — 2. No. 9b. . Hiermit sind die dreiflächigen Stammsysteme des n-flachs erledigt, und wir hätten zu den vier- und mehrflächigen Systemen fortzuschreiten. Aus dem vorherigen geht aber klar hervor, dafs die weiteren Betrachtungen den folgenden Weg einzuschlagen haben, den wir in gröfster Allgemein heit kurz andeuten. Sind (p), (q), (r), (s) . . . . die Stammflächen, unter denen X sich seitende Flächenpaare Vorkommen, d. h. existieren auf dem n-flach X Kanten, in denen sich Stammflächen seiten, und ist f_i die Zahl der Ecken, in denen drei Stammflächen zusammenstofsen, so ist die Beziehung zwischen den Gröfsen p, q, r, s . . . . gegeben in 6) p —q —|— r —s —(— . . . = 2n — 4 -)- 21 — ft. Es sind dann ferner, wie bisher, alle möglichen Zusammenhangsweisen der Stammflächen der Beihe nach festzusetzen und die Werte p, q, r, s . . . durch die Zahlen der Scheitelkanten auszudrücken, aus letzteren Gleichungen alsdann die zulässigen Werte für die Anzahl der Scheitel kanten zu berechnen. Diese Werte in Verbindung mit der Gleichung 6) geben die möglichen n-flache durch deren Stammsysteme. Es ist nun leicht ersichtlich, dafs die Methode schon für vier Stammflächen recht kompliziert wird, ja, im Grunde genommen immer mehr auf ein blofses Probieren hinausläuft. Sind z. B. die vier Stammflächen isoliert, welcher Fall analog dem unter a) für die dreiflächigen Systeme zu untersuchen ist, so ergeben sich für die sechs Gröfsen x, y, z, u, v, w der Scheitelkanten zwischen den vier Flächen offenbar nur vier Gleichungen, und es können von vorn herein zwei der Gröfsen immer willkürlich gewählt werden. Dann wird es aber von Fall zu Fall schwieriger, die Garantie zu übernehmen, dafs keine möglichen Kombinationen in dem Zusammenhang der Flächen und in den Zahlen der Scheitelkanten übersehen werden. Ein weiterer Nachteil der Methode der Stamm systeme besteht darin, dafs sich eben diese und erst durch sie die Vielflache ergeben, so dafs also sämtliche Stammsysteme abgeleitet sein müssen, ehe behauptet werden kann, dafs kein Vielflach unentdeckt geblieben ist. So ergeben sich schon für die fünf möglichen Siebenflache 22 Stamm systeme, und zwar bis zu den vierflächigen, obgleich diese letzteren keine Formen des Sieben flaches mehr liefern, die nicht bereits durch die zwei- und dreiflächigen Systeme bekannt geworden wären. Der Wert dieser zweiten Methode bestellt also wesentlich darin, dafs mittels derselben die n-flache ohne vorherige Kenntnis der (n — l)-flache gefunden werden können. Eine Berechnung der Anzahl der n-flache ist natürlich ausgeschlossen. Dabei bleibt noch die 29 ) Hiernach sind die bei Eberhard, Morphologie S. 35 irrtümlich angegebenen Werte zu korrigieren.
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