4 WprtT überhaupt fähig werden soll. Es ist hier nicht der Ort, auf den Inhalt dieses Werkes einzugehen vielmehr sollen lm folgenden diejenigen Versuche gewürdigt werden, w Ich von verschiedenen Seiten gemacht wurden, für das Problem -in der ursprünglichen Steineichen Fragestellung eine Antwort zu finden, nämlich die möglichen Formen der Polyeder einer bestimmten I lachen zahl (resp Ecken- oder Kantenzahl) zu bestimmen. Richtig bemerkt hierzu bereits Cayley in j?JV '7 t0 fi nd . the d $’ erent polyhedra ratlier than to count them.“ Auch ton Zer ! f B^tung, _ für die Anzahl der Vielflache einer bestimmten Flächenzahl einen von dieser abhängigen algebraischen Ausdruck zu finden, hat es nicht an Versuchen gefehlt wenn sich _ dieselben auch fast ausschließlich nur auf ganz spezielle Formen beziehen, wie im weiteren gezeigt wird Als Hauptaufgabe mufs wohl im Aiige behalten werden, die Gestalten der möglichen Vielflache wirklich darzustellen und Methoden anzugeben, mittels deren dieselben gefunden werden können. Diese Methoden, welche im folgenden zu besprechen sind, haben in der That die ^glichen Formen der Vielflache von geringer Seitenzahl, vom Vierflach ausgehend abzuleiten und haben dazu geführt, uns eine gewisse Kenntnis der einfachsten Gestalten zu ver mitteln.Warum dieselben nicht hinreichen, Schlüsse auf die Zahl der Gestalten zu gestatten TW -ff J ei W " rdl g™g derselben ergeben. Es ist notwendig, zuerst auf einige elementare xJegrine und Anschauungen näher einzugeheu. Für jedes Eulersche Polyeder, d. h. für jedes konvexe Vielflach, dessen Oberfläche einfach zusammenhängend ist, mit f Seitenflächen, k Kanten und e Ecken gilt zunächst die Eulersche vjrleichung e -j- f = k -j- 2. Wenn f h die Anzahl der li-seitigen Grenzflächen, ej, die Zahl der von je h Flächen gebildeten Ecken bezeichnet, also 1) / f a + f i + f 5 + • ■ J l e 3 + e 4 + e 5 -j- . . Gleichungen 2 ) { 3 e! 1 ‘ ' V O Da wir diesen die Form geben können = f, = e, ist, so ergeben sich die 4 4 e t 5 • • - • = 2 k, 5 e- = 2 k. 3 ( f 3 + fi + f., + ■ ■) + f 4 + 2f s + ■ • = 2 k, 3 ( e 3 + e i f e 5 -)- . .) 4- e 4 4" 2e ö + ' • = 2 k > so folgen hieraus mit Rücksicht auf 1) die Gleichungen bez. UnGleichungen: o o ö 3) 3f = 2k, 3e ^ 2k; und mit Hilfe des Eulerschen Satzes ergiebt sich hieraus ferner: 4 ) e + 4 — 2 f ^ 4 e — 8, f ]- 1 < 2e <: 1 f — 8. Die Folgerungen aus diesen und weiteren Beziehungen zwischen den Gröfsen f, k und e hat bereits Euler selbst gezogen, 6 ) und verweisen wir hierfür auf die unten zitierten Elemente der Geometrie von Baltzer. Es möge aus diesen Folgerungen nur hervorgehoben werden, dafs es kein Polyeder mit 7 Kanten giebt, dafs kein Vielflach von lediglich mehr als fünfseitigen Grenzflächen gebildet existieren kann, und dafs gemäfs den leicht zu beweisenden Beziehungen: 5) j 3f 's + 2f 4 + f B > 12, 1 3 e 3 “f" 2 e i -f~ e 5 ~ 1 2, ein Polyeder ohne drei- und vierseitige Grenzflächen mindestens 12 fünfseitige besitzt, ein solches ohne drei- und fünfseitige mindestens 6 vierseitige u. s. w. Verstehen wir mit Eberhard unter °) Euler, Elementa doctrinae solidorum. Nov. Comment. Acad. scient. Imp. Petropolitauae. Tom. IV. (1758) und dasselbe bei späteren. S. hierüber Baltzer, Elemente. Bd. II, S. 214 u. ff.