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Die Uhrmacherkunst
- Bandzählung
- 52.1927
- Erscheinungsdatum
- 1927
- Sprache
- Deutsch
- Vorlage
- Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V., Bibliothek
- Digitalisat
- Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V.
- Lizenz-/Rechtehinweis
- CC BY-SA 4.0
- URN
- urn:nbn:de:bsz:14-db-id318594536-192701007
- PURL
- http://digital.slub-dresden.de/id318594536-19270100
- OAI-Identifier
- oai:de:slub-dresden:db:id-318594536-19270100
- Sammlungen
- Technikgeschichte
- Uhrmacher-Zeitschriften
- Strukturtyp
- Band
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Ausgabebezeichnung
- Nr. 23 (3. Juni 1927)
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Ausgabe
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Titel
- Das Pendel
- Autor
- Giebel, K.
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Artikel
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
Inhaltsverzeichnis
- ZeitschriftDie Uhrmacherkunst
- BandBand 52.1927 -
- TitelblattTitelblatt -
- InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis III
- AusgabeNr. 1 (1. Januar 1927) 1
- AusgabeNr. 2 (7. Januar 1927) 15
- AusgabeNr. 3 (14. Januar 1927) 27
- AusgabeNr. 4 (21. Januar 1927) 43
- AusgabeNr. 5 (28. Januar 1927) 57
- AusgabeNr. 6 (4. Februar 1927) 73
- AusgabeNr. 7 (11. Februar 1927) 89
- AusgabeNr. 8 (18. Februar 1927) 107
- AusgabeNr. 9 (25. Februar 1927) 127
- AusgabeNr. 10 (4. März 1927) 149
- AusgabeNr. 11 (11. März 1927) 165
- AusgabeNr. 12 (18. März 1927) 183
- AusgabeNr. 13 (25. März 1927) 201
- AusgabeNr. 14 (1. April 1927) 221
- AusgabeNr. 15 (8. April 1927) 241
- AusgabeNr. 16 (15. April 1927) 261
- AusgabeNr. 17 (22. April 1927) 283
- AusgabeNr. 18 (29. April 1927) 301
- AusgabeNr. 19 (6. Mai 1927) 321
- AusgabeNr. 20 (13. Mai 1927) 341
- AusgabeNr. 21 (20. Mai 1927) 363
- AusgabeNr. 22 (27. Mai 1927) 381
- AusgabeNr. 23 (3. Juni 1927) 399
- ArtikelListe der Fabrikanten und Grossisten, die eine Erklärung ... 399
- ArtikelUmsatzsteigerung durch Reiseuhrpropaganda 401
- ArtikelDas Pendel 402
- ArtikelElektrische Autouhren 405
- ArtikelErfolg und Lebensfreude (Fortsetzung) 406
- ArtikelSprechsaal 407
- ArtikelSteuer- und Aufwertungsfragen 411
- ArtikelVerschiedenes 412
- ArtikelInnungs- u. Vereinsnachrichten 415
- ArtikelPatentschau 418
- ArtikelFrage- und Antwortkasten 418
- ArtikelEdelmetallmarkt 418
- ArtikelAnzeigen -
- Artikel20 Jahre Tätigkeit für die Uhrmacherkunst -
- AusgabeNr. 24 (10. Juni 1927) 419
- AusgabeNr. 25 (17. Juni 1927) 433
- AusgabeNr. 26 (24. Juni 1927) 455
- AusgabeNr. 27 (1. Juli 1927) 475
- AusgabeNr. 28 (8. Juli 1927) 497
- AusgabeNr. 29 (15. Juli 1927) 513
- AusgabeNr. 30 (22. Juli 1927) 529
- AusgabeNr. 31 (29. Juli 1927) 545
- AusgabeNr. 32 (5. August 1927) 565
- AusgabeNr. 33 (12. August 1927) 581
- AusgabeNr. 34 (19. August 1927) 599
- AusgabeNr. 35 (26. August 1927) XII
- AusgabeNr. 36 (2. September 1927) 633
- AusgabeNr. 37 (9. September 1927) 649
- AusgabeNr. 38 (16. September 1927) 665
- AusgabeNr. 39 (23. September 1927) 683
- AusgabeNr. 40 (30. September 1927) 703
- AusgabeNr. 41 (7. Oktober 1927) 721
- AusgabeNr. 42 (14. Oktober 1927) 743
- AusgabeNr. 43 (21. Oktober 1927) 759
- AusgabeNr. 44 (28. Oktober 1927) 777
- AusgabeNr. 45 (4. November 1927) 805
- AusgabeNr. 46 (11. November 1927) 823
- AusgabeNr. 47 (18. November 1927) 841
- AusgabeNr. 48 (25. November 1927) 861
- AusgabeNr. 49 (2. Dezember 1927) 879
- AusgabeNr. 50 (9. Dezember 1927) 895
- AusgabeNr. 51 (16. Dezember 1927) 913
- AusgabeNr. 50 (23. Dezember 1927) 933
- BandBand 52.1927 -
- Titel
- Die Uhrmacherkunst
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Nr. 23 DIE UHRMACHERKUNST 403 lehre bekannt. Der allgemeine binomische Lehrsaß gibt also die Reihenentwickelung auch für solche Ausdrücke, in denen das Binom im Nenner oder unter dem Wurzel zeichen vorkommt. Solche Reihen sind für uns nur braudibar, wenn sie konvergieren, d. h. wenn sie mit wachsender Gliederzahl einem endlichen Grenzwert zu streben. Die Feststellung, ob eine Reihe konvergiert, ist oft schwierig. Wir benußen nur Reihen, die so stark konvergieren, daß wir mit ganz wenig Gliedern dem Grenzwert genügend nahe kommen. Dazu einige Beispiele. Zunächst einige Beispiele mit bestimmten Zahlen: Es soll ohne Benußung von Logarithmen die fünfte Wurzel aus 33 auf 4 Dezimalstellen genau berechnet werden. j/33 = |/32 + 1 Wir entwickeln das Binom: ('+i) t-K) 1 32 1 -2 322 ; 4KH-4) < 1 1.2-3 = i A._L. T 5 32 25 1024 323 6 1 125 32 • 1024 = 1 + 1 1 160 12800 1 2048000 = 1 4-0,00625 — 0,000078125 -f . . . Das vierte Glied hat etwa den Wert 0,0000015 .. . Scheinbar gebrauchen wir dieses und auch schon das vorhergehende dritte Glied gar nicht mehr, da wir ja nur vier Stellen nach dem Komma haben wollen, aber wir müssen beachten, daß wir das Ergebnis dieser Reihen entwickelung noch mit 2 multiplizieren müssen. Wenn wir die vierte Stelle wirklich genau haben wollen, müssen wir deshalb die fünfte, unter Umständen sogar die sechste mit berücksichtigen. Es ergibt sich: . 5 (' + s) “ 1 ’ 006173 ' ^33 = 2.|l -J- =2,012346, 1/40 = |/32 -f 8 -f 32( 1 + ^)-= 1 + |= 2-(l + |) 5 . (’ + xf -+(»4 + 1 = 1 + = 1 + 1 1 T'T 399 15625' 1 mh('m 45 6 125 1596 1 '78125 3 1 43 _ 21 ~ 625 6612 4° 390625 21 1 Ji ' 4T~ 399 20 200 399 4000 160000 1653 16000000 80000000 ' 1600000000 = 1 _|_ 0,05 — 0,005 + 0,00075 — 0,000131 25 0,00002493 — 0,000005 -f- 0,000001 — . . . = 1,045640, |/4Ö = 2,091 280, 1/40 = 2,0913. Wir sehen, daß' wir hier statt drei bis vier Glieder deren sieben bis acht gebrauchen, und daß die „Stellen jägerei" auch in der Mathematik bisweilen recht mühsam ist. Würde die Konvergenz noch schlechter, so müßten wir sie durch geschickte Zerlegung verbessern. Soll z. B. die fünfte Wurzel aus 80 gezogen werden, so würde die Reihe überhaupt nicht mehr konvergieren, wenn wir 2 5 = 32 ausklammerten. Durch Überschlagsrechnung finden wir, daß das Ergebnis nahezu 2,4 ist. Deshalb sondern wir 2,4 5 = 79,62624 aus: m = ^79,62624 + 0.37376 = 2A” (1 + = 2,4.(1 -f 0,0046939) 5 = 2,4022. Der zweite Summand des Binoms ist zwar etwas unbequem, aber er ist so klein, daß drei Glieder der Reihe genügende Genauigkeit ergeben. Diese Beispiele sollten zeigen, wie man zahlenmäßig mit Reihen rechnet. Wir wollen nun noch einige allgemeine Beispiele von Aufgaben besprechen, die häufig Vorkommen. ,. T J- = ( , + xr , = , + (-')x + (-')x 2 +( 1 ')xa + ... = 1- C—1) t 2) — 1 -T x +—172 (—1) (—2) (—3) 1 1 1-2-3 = 1 — X + X2 — X 3-f . . . X3- (2 a) 1/33 = 2,0123. Diese Reihe konvergiert sehr gut, so daß wir mit / drei oder vier Gliedern die verlangte Genauigkeit erreichen. Wir wollen nun ein ähnliches Beispiel mit schlechterer Konvergenz betrachten: 5 5 1 -f- X Zu demselben Ergebnis hätten wir auch durch Aus dividieren kommen können. Ist in diesem Ausdruck x eine kleine Zahl, z. B. 0,1, 1 so ist der Wert des Bruches — = 0,90909 . . . Unsere Reihe ergibt 1 — 0,1 -f- 0,01—0,001 -f- . . . Brechen wir nach dem zweiten Gliede ab, so erhalten wir 0,9 statt 0,90909, machen also einen Fehler von 0,00909. Brechen wir nach dem dritten Gliede ab, so erhalten wir 0,91 statt 0,90909, machen also einen Fehler von 0,000909 . . . Genügt uns eine Genauigkeit von 0,01, so kommen wir mit den beiden ersten Gliedern aus, verlangen wir aber eine solche von 0,001, so müssen wir das dritte Glied noch mit hinzuziehen. Ist x = 0,01, so ist der Wert des Bruches 0,990099 . . . Unsere Reihe ist: 1_ 0,01-f 0,0001 — 0,000001 + . . .
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