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Die Uhrmacherkunst
- Bandzählung
- 67.1942
- Erscheinungsdatum
- 1942
- Sprache
- Deutsch
- Vorlage
- Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V., Bibliothek
- Digitalisat
- Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V.
- Lizenz-/Rechtehinweis
- CC BY-SA 4.0
- URN
- urn:nbn:de:bsz:14-db-id318594536-194201002
- PURL
- http://digital.slub-dresden.de/id318594536-19420100
- OAI-Identifier
- oai:de:slub-dresden:db:id-318594536-19420100
- Sammlungen
- Technikgeschichte
- Uhrmacher-Zeitschriften
- Bemerkung
- Hefte 15 und 17 fehlen
- Strukturtyp
- Band
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Ausgabebezeichnung
- Nr. 14 (10. Juli 1942)
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Ausgabe
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Titel
- Trigonometrie in der Berechnung der Uhr
- Autor
- Giebel
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Artikel
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
Inhaltsverzeichnis
- ZeitschriftDie Uhrmacherkunst
- BandBand 67.1942 -
- TitelblattTitelblatt -
- BeilageAnzeigen Nummer 1 -
- AusgabeNr. 1 (9. Januar 1942) 1
- BeilageAnzeigen Nummer 2 -
- AusgabeNr. 2 (23. Januar 1942) 11
- BeilageAnzeigen Nummer 3 -
- AusgabeNr. 3 (6. Februar 1942) 25
- BeilageAnzeigen Nummer 4 -
- AusgabeNr. 4 (20. Februar 1942) 35
- BeilageAnzeigen Nummer 5 -
- AusgabeNr. 5 (6. März 1942) 45
- BeilageAnzeigen Nummer 6 -
- AusgabeNr. 6 (20. März 1942) 55
- BeilageAnzeigen Nummer 7 -
- AusgabeNr. 7 (3. April 1942) 67
- BeilageAnzeigen Nummer 8 -
- AusgabeNr. 8 (17. April 1942) 77
- BeilageAnzeigen Nummer 9 -
- AusgabeNr. 9 (1. Mai 1942) 91
- BeilageAnzeigen Nummer 10 -
- AusgabeNr. 10 (15. Mai 1942) 101
- BeilageAnzeigen Nummer 11 -
- AusgabeNr. 11 (29. Mai 1942) 115
- BeilageAnzeigen Nummer 12 -
- AusgabeNr. 12 (12. Juni 1942) 121
- BeilageAnzeigen Nummer 13 -
- AusgabeNr. 13 (26. Juni 1942) 135
- BeilageAnzeigen Nummer 14 -
- AusgabeNr. 14 (10. Juli 1942) 145
- ArtikelWir blicken nach Italien! 145
- ArtikelWie gestalte ich meinen Betrieb zu einem Leistungsbetrieb? 147
- ArtikelFachliche Richtlinien für den Leistungskampf der deutschen ... 147
- ArtikelDie Front berichtet 148
- ArtikelTrigonometrie in der Berechnung der Uhr 149
- ArtikelDie dritte Lehrlingszwischenprüfung während des Krieges 152
- ArtikelAus dem Protektorat Böhmen und Mähren 152
- ArtikelWochenschau der "U"-Kunst 153
- ArtikelReichsinnungsverbands-Nachrichten 154
- ArtikelSie fragen / Wir antworten 154
- ArtikelInnungsnachrichten 154
- ArtikelPersönliches 154
- ArtikelAnzeigen -
- BeilageAnzeigen Nummer 16 -
- AusgabeNr. 16 (7. August 1942) 163
- BeilageAnzeigen Nummer 18 -
- AusgabeNr. 18 (4. September 1942) 185
- BeilageAnzeigen Nummer 19 -
- AusgabeNr. 19 (18. September 1942) 195
- BeilageAnzeigen Nummer 20 -
- AusgabeNr. 20 (2. Oktober 1942) 203
- BeilageAnzeigen Nummer 21 -
- AusgabeNr. 21 (16. Oktober 1942) 217
- BeilageAnzeigen Nummer 22 -
- AusgabeNr. 22 (30. Oktober 1942) 227
- BeilageAnzeigen Nummer 23 -
- AusgabeNr. 23 (13. November 1942) 237
- BeilageAnzeigen Nummer 24 -
- AusgabeNr. 24 (27. November 1942) 245
- BeilageAnzeigen Nummer 25 -
- AusgabeNr. 25 (11. Dezember 1942) 255
- BeilageAnzeigen Nummer 26 -
- AusgabeNr. 26 (25. Dezember 1942) 269
- BandBand 67.1942 -
- Titel
- Die Uhrmacherkunst
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n üln , AN G / 1942 / NR-14 1 ' S nn nkeln 5t. b Jnktio» * (* zen rbäl • Spi t ■rhält, »es Kn fafelni nesser ren R r ist, 'eieck, den i Drei :rliegei die J ithete eschrei! icben * nen. nis N Abb lit A ’erhil 1 trie noc ien. Ergfb» 151 iner solchen Tafel (Gauß, S. 114/115) sehen wir, daß der Sinus ändern Winkel zuerst schnell wächst, dann immer langsamer; sin 30° = 0,500, sin 45° nicht 0,750, sondern erst 0,707, sin 60° i. 0 5 = 1 ( sondern 0,866 usw. “ ’ ec hend finden wir in einer Cosinustafel, daß cos 0° = 1 ist, langsam und nachher immer schneller fällt, bis er bei 90° den Vull erreicht. rintfens wächst von 0 0 an ähnlich wie Sinus, aber immer schneller, jlß er schon bei 45 0 den Wert 1 erreicht und bei 90 0 den Wert oo LrCotangens ist es spiegelbildlich umgekehrt wie bei Tangens: Sinus und Tangens wachsen mit wachsendem Winkel, Cosinus und Cotangens fallen mit wachsendem Winkel. Wenden wir uns nun wieder unserem rechtwinkligen Dreieck tr 7 u in dem wir bisher nur für den Winkel « die Winkelfunktionen achtet haben. Der Winkel ß ergänzt den Winkel « zu 90°, er ist Komplementwinkel“ zu a ^ Oie Funktionswerte für b . sin ß = —, cos / ß sind: --Y «a-4. «s Vergleichen wir diese Werte mit denen für die Funktionen von «, kommen wir zu den Beziehungen: sina = cos (90 —«) 1 was wir uns mit kurzen Worten merken: cosa = sin (90 —a) I Die Funktion eines Winkels ist uu = ctg (90 — a) | gleich der Cofunktion seines c jg a = tg (90 —a) J Komplementwinkels. Von dieser Beziehung machen die Tafelwerke Gebrauch. Sind z. B. auf einer Tafel (Gauß, S. 114/115) die Sinuswerte von bis 90 0 angegeben, trägt also die Tafel die Überschrift Sinus und ‘ ljks in der ersten Spalte die Winkelwerte, so wird dieselbe Tafel nitzt zum Aufschlagen der Cosinuswerte. Die Tafel trägt die iterschrift Cosinus und rechts, d. h. also in der letzten Spalte. Werte der Komplementwinkel. Oder eine andere Anordnung (siehe Gauß, S. 52—96, Logarithmen Funktionswerte). Die Tafel gibt die Werte der vier Winkel- iktionen in vier Hauptspalten nebeneinander. Diese vier Spalten >n die Uber Schriften sin, tg, ctg, cos und darüber als Haupt- i kerschrift die Winkelgrößen. Dazu gehören links die Minuten lien Wir sehen, daß die Tafel nur bis 44° 60', also 45°, geht. Das B ugt auch, denn die Werte für die größeren Winkel sind ja schon in Spalten der Cofunktionen enthalten. Die erste Hauptspalte trägt .Überschrift sin. In ihr sucht man die Werte von 0° bis 45 °. Bei toen Winkeln geht man in die letzte Hauptspalte, die die Uber- krilt cos und die Unterschrift sin trägt. Die Haupt unter- iriften sind die Winkel von 45 0 bis 89 °, und dazu gehören rechts, in der letzten Spalte, die Minuten, die jetzt natürlich von unten mi oben ansteigen; also geht der Bereich von 45 0 0 bis 89° 60 oder Entsprechendes gilt für die beiden mittleren Spalten, die die berschriften tg und ctg und die Unterschriften ctg und tg tragen. Wir wollen nun einige Winkelfunktionswerte aufschlagen und be ten dazu die Tafel für Sinus und Cosinus (Gauß, S. 114/115). Der tser mag in seiner Tafel die Richtigkeit der Angaben prüfen. Die 0 b e r schrift ist Sinus. Links stehen die Gradzahlen, rechts ivon befinden sich sechs Spalten mit den Überschriften 10 , 20 , 30 , i,50', 60'. Wir lesen ab: sin 15° 40' = 0,2700, sin 73 0 20' = 0,9580. Man kann aber auch noch Zwischenwerte aufsuchen (interpolieren), :i die rechtsstehenden Hilfstäfelchen (unter PP = partes proportio- pJ= Verhältnisteile) gute Dienste leisten, aber nicht unbedingt nötig Kl z. B. sin 15° 48'. Der Funktionswert liegt zwischen dem für 15° 40' id dem für 15° 50', also zwischen 0,2700 und 0,2728. Für den Zuwachs 10' ist der Funktionswert um 28 der letzten Stelle gewachsen. Wenn 8 • 28 io- 28 kommen, dann kommen auf 8' —](j~ = 22,4. Denselben Wert ■den wir in dem mit 28 überschriebenen Hilfstäfelchen. Vor dem »krechten Strich stehen die Minutenzahlen von 1 . . 9, hinter dem täch die zugehörigen Anteile, hier 22,4. Wir runden auf 22 ab und Vieren dies zu dem zu 15° 40' gehörigen Wert 0,2700, so daß sich ■gibt: sin 15« 48' = 0,2722. Entsprechend sin 73° 27'. Hier ist der Tafelunterschied 8 der toten Stelle und der zu 7' gehörige Anteil 5,6 oder, nach oben ab- tnindet, 6, so daß ist: sin 73 0 27' = 0,9586. Aus derselben Tafel können wir Cosinuswerte entnehmen, wobei jetzt die Unter schriften und die rechts stehenden Winkelwerte Wutzen: cos 28 0 50' = 0,8760, cos 64 0 10' = 0,4358, mit Interpolation: cos 42° 36' = 0,7361 D »bei b = 0,7373 — 3-27 cos 72« 43' = 0,2971 |= 0,2979 ■ 10 Hier ist zu beachten, daß der Verhältnisanteil (12 bzw. tl ogen werden muß, weil ja Cosinus mit wachsendem fällt. Man sieht das auch schon an den Werten, zwischen denen man interpoliert: der zu 72° 50' gehörige Cosinuswert ist um 27 der letzten Stelle k 1 e i n e r als der zu 72° 40' gehörige. Genau in der gleichen Weise werden Tangens und Cotangens aut- geschlagen (siehe Gauß, S. 116/117). Um mit dem Lesen der Tafeln recht vertraut zu werden, muß man üben, üben und nochmals üben. Beim Rechnen ist es ebenso wie bei der Handfertigkeit nicht damit getan, daß man die Erklärung verstanden hat. Genau so wie man Sicherheit im Gebrauch der Feile nur durch lange Übung gewinnt, so erwirbt man auch beim Rechnen erst durch ausdauernde und wiederholte Übung Sicherheit und Fertigkeit. Nun kommt die umgekehrte Aufgabe: Zum Funktionswert den Winkel aufzuschlagen: tg u = 4,100. W’ie groß ist «? Unser Funktionswert liegt zwischen 4,061 und 4,113. « ist also erößer als 76° 10'. Um wieviel? Der Tafelunterschied ist 52 der letzten 10' Stelle. Zu diesen 52 gehören 10', zu 1 gehören _, zu unserem Unter- io . jfl' ] 5' schied von 39 gehören - ^ — -y = 7 1 /2' oder, da wir von V2 an nach oben abrunden, 8'. Diesen Wert hätten wir auch aus dem Hilfs täfelchen 52 (das wir auf S. 116 finden) entnehmen können: Unser Unter schied von 39 liegt genau zwischen 36,4 und 41,6, also der Winkel zuwachs genau zwischen 7' und 8'. tg u = 4,100; u = 76 0 18'. Der Leser möge nun nachprüfen, ob die folgenden Angaben richtig sind: = 0,1240 «= 7° 7' = 0,2539 /? = 75 0 18' = 5,636 y = 79 0 56' = 0,7676 ! <5 = 52 0 29' Man gewöhnt sich an, beim Interpolieren nicht vom kleineren Funktionswert auszugehen, sondern von dem Funktionswert, zu dem der kleinere Winkel gehört. Das ist bei Cosinus und Cotangens der größere Funktionswert. Man kann dann, nachdem man seinen Funktions wert „eingegabelt“ hat, schon die Grade und Zehner - Minuten hin schreiben und braucht nach der Interpolation nur noah die Einer- Minuten hinzuzufügen. Überhaupt sucht man sich möglichst gegen Schreib- und Lesefehler zu schützen, wozu auch saubere und übersichtliche Schrift gehört. Im übrigen: Üben und nochmals üben! Bisher haben wir Winkel im rechtwinkligen Dreieck betrachtet. Diese W'inkel sind alle kleiner als 90°, höchstens gleich 90». Wie ist es nun mit den Funktionen stumpfer W'inkel? Schon in Abb. 8 hatten wir die Winkelfunktionen in einen Kreis eingeordnet, in dem die Kurbel A B umlief. Dieses Bild bauen weiter aus (Abb. 9). Wir gehen aus von dem feststehenden Radius A D und drehen die Kurbel z. B. bis B, so daß sie mit dem festen Radius sin t cos l tg Y ctg ( gewöhnt sich an, 6' Abb. 9 8) a b - Winkel A D den Winkel a einschließt. Dann deuten wir die Winkelfunktionen folgendermaßen: 1 S i n u s ist das Verhältnis des vom Endpunkt B der gedrehten Kurbel A B auf den festen Radius A D gefällten Lotes C B zur Kurbellänge AB. 2. C o s i n u s ist das Verhältnis des Abstandes A C vom Mittel- punkt A bis zum Fußpunkt C des Lotes zur Kurbellänge A B. 3. Tangens ist das Verhältnis des von der Kurbel abgeschnittenen Tangentenstückes D E zum festen Radius AD. 4. C o t a n g e n s ist das Verhältnis des von der Kurbel ab geschnittenen Tangentenstückes F G der zum festen Radius parallelen Tangente zu dem Radius A F. Unsere Erklärungen 1 und 2 decken sich mit den bisherigen im rechtwinkligen Dreieck ABC. Die dritte und vierte weichen zwar von den entsprechenden im Dreieck ABC ab; da aber Dreieck A ED und Dreieck AGF dem Dreieck ABC ähnlich sind, bleiben die Seiten verhältnisse erhalten. Nebenbei liefern uns diese neuen Erklärungen auch den Grund dafür, weshalb diese Funktionen Tangens bzw. Co tangens genannt sind. Geben wir der Kurbel AB die Länge 1 (m, dm, Elle oder sonst irgendeine Längeneinheit), so ist in dem das Seitenverhältnis darstellen-
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