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Die Uhrmacherkunst
- Bandzählung
- 67.1942
- Erscheinungsdatum
- 1942
- Sprache
- Deutsch
- Vorlage
- Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V., Bibliothek
- Digitalisat
- Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V.
- Lizenz-/Rechtehinweis
- CC BY-SA 4.0
- URN
- urn:nbn:de:bsz:14-db-id318594536-194201002
- PURL
- http://digital.slub-dresden.de/id318594536-19420100
- OAI-Identifier
- oai:de:slub-dresden:db:id-318594536-19420100
- Sammlungen
- Technikgeschichte
- Uhrmacher-Zeitschriften
- Bemerkung
- Hefte 15 und 17 fehlen
- Strukturtyp
- Band
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Ausgabebezeichnung
- Nr. 21 (16. Oktober 1942)
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Ausgabe
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Titel
- Trigonometrie in der Berechnung der Uhr (Fortsetzung von Seite 208)
- Autor
- Giebel
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Artikel
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
Inhaltsverzeichnis
- ZeitschriftDie Uhrmacherkunst
- BandBand 67.1942 -
- TitelblattTitelblatt -
- BeilageAnzeigen Nummer 1 -
- AusgabeNr. 1 (9. Januar 1942) 1
- BeilageAnzeigen Nummer 2 -
- AusgabeNr. 2 (23. Januar 1942) 11
- BeilageAnzeigen Nummer 3 -
- AusgabeNr. 3 (6. Februar 1942) 25
- BeilageAnzeigen Nummer 4 -
- AusgabeNr. 4 (20. Februar 1942) 35
- BeilageAnzeigen Nummer 5 -
- AusgabeNr. 5 (6. März 1942) 45
- BeilageAnzeigen Nummer 6 -
- AusgabeNr. 6 (20. März 1942) 55
- BeilageAnzeigen Nummer 7 -
- AusgabeNr. 7 (3. April 1942) 67
- BeilageAnzeigen Nummer 8 -
- AusgabeNr. 8 (17. April 1942) 77
- BeilageAnzeigen Nummer 9 -
- AusgabeNr. 9 (1. Mai 1942) 91
- BeilageAnzeigen Nummer 10 -
- AusgabeNr. 10 (15. Mai 1942) 101
- BeilageAnzeigen Nummer 11 -
- AusgabeNr. 11 (29. Mai 1942) 115
- BeilageAnzeigen Nummer 12 -
- AusgabeNr. 12 (12. Juni 1942) 121
- BeilageAnzeigen Nummer 13 -
- AusgabeNr. 13 (26. Juni 1942) 135
- BeilageAnzeigen Nummer 14 -
- AusgabeNr. 14 (10. Juli 1942) 145
- BeilageAnzeigen Nummer 16 -
- AusgabeNr. 16 (7. August 1942) 163
- BeilageAnzeigen Nummer 18 -
- AusgabeNr. 18 (4. September 1942) 185
- BeilageAnzeigen Nummer 19 -
- AusgabeNr. 19 (18. September 1942) 195
- BeilageAnzeigen Nummer 20 -
- AusgabeNr. 20 (2. Oktober 1942) 203
- BeilageAnzeigen Nummer 21 -
- AusgabeNr. 21 (16. Oktober 1942) 217
- ArtikelEin Uhrmacher als Pionier der Spinndüse: Friedrich Eilfeld 217
- ArtikelUhrmachergewerbe und Uhrmacherkultur in USA 218
- ArtikelDie Verwendung des Chronometers zur Bestimmung des Schiffsortes ... 219
- ArtikelTrigonometrie in der Berechnung der Uhr (Fortsetzung von Seite ... 221
- ArtikelBedeutsame Entscheidung des Reichsarbeitsgerichts über die ... 223
- ArtikelZum deutschen Goldschmiedetag 224
- ArtikelKleine Erinnerung 224
- ArtikelWochenschau der "U"-Kunst 224
- ArtikelReichsinnungsverbands-Nachrichten 226
- ArtikelSie fragen / Wir antworten 226
- ArtikelPersönliches 226
- ArtikelAnzeigen -
- BeilageAnzeigen Nummer 22 -
- AusgabeNr. 22 (30. Oktober 1942) 227
- BeilageAnzeigen Nummer 23 -
- AusgabeNr. 23 (13. November 1942) 237
- BeilageAnzeigen Nummer 24 -
- AusgabeNr. 24 (27. November 1942) 245
- BeilageAnzeigen Nummer 25 -
- AusgabeNr. 25 (11. Dezember 1942) 255
- BeilageAnzeigen Nummer 26 -
- AusgabeNr. 26 (25. Dezember 1942) 269
- BandBand 67.1942 -
- Titel
- Die Uhrmacherkunst
- Autor
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UHRMACHERRUNs, Sehen wir uns die beiden Sätze und das, was damit geleistet wer den kann, etwas genauer an: Der Sinussatz handelt von zwei Seiten und den beiden gegenüber liegenden Winkeln. Drei von diesen vier Stücken müssen gegeben sein; dann kann das vierte berechnet werden. Wir können also mit diesem Satz zwei Grundaufgaben lösen: 1 Gegeben eine Seite und die Winkel; gesucht eine Seite. ß. b; Beispiel: Gegeben: gesucht: a. a : b = sin a : sin ß sin a /& — b • sin 2. Gegeben zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel; gesucht der andere gegenüberliegende Winkel. Beispiel: Gegegeben: a, c, y; gesucht: «. sin o.: sin y = a : c a / s sin y. Bei dieser letzten Aufgabe ist Vorsicht geboten. Wie wir in Ab schnitt I ausführlich erörtert haben, ist in diesem Fall das Dreieck nur dann eindeutig konstruierbar, wenn der gegebene Winkel der größeren der beiden Seiten gegenüberliegt. Ist aber der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben, also der der größeren gegenüber liegende gesucht, so kat.n dieser — wie dort in Abb. 3 u. 4 gezeigt wurde — spitz oder stumpf sein, und zwar sind die beiden Winkel Supplementwinkel. Dasselbe zeigt sich auch hier bei der Berechnung. Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Sinus seines Supplementwinkels. Wir können also dem Wert für den Sinus eines Winkels nicht ansehen, ob er zu dem Tafelwert des Winkels oder zu dessen Supplementwinkel gehört. Da im Dreieck nur ein^stumpfer Winkel Vorkommen kann, muß dieser immer der größten der drei Seiten gegenüberliegen. Bei dem der größeren von zwei Seiten gegenüberliegenden Winkel muß also stets mit der Möglichkeit gerechnet werden, daß er unter Umständen stumpf sein kann. Der Sinussatz hat also trotz seiner scheinbaren Einfachheit doch seine Tücke. Meist ergibt sich zwar aus dem ganzen Zusammenhang der Aufgabe, ob der gesuchte Winkel spitz oder stumpf ist. Wenn er aber sehr nahe bei 90 0 liegt (und dieser Fall tritt bei der Berechnung von Hemmungen häufig auf), dann ist die Entscheidung bisweilen nicht ganz einfach. Deshalb vermeiden wir nach Möglichkeit diese Berech nungsart. Beim Cosinussatz handelt es sich um drei Seiten und einen Winkel, Auch mit diesem Satz lassen sich zwei Grundaufgaben lösen. 1. Gegeben zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel; gesucht die dritte Seite. Beispiel: Gegeben: b, c, «; gesucht: a. /& 1 = b 2 4- c 2 — 2 b • c cos «. 2. Gegeben drei Seiten; gesucht ein Winkel. Beispiel: Gegeben: a, b. c; gesucht: ß. Bei der Aufstellung der Gleichung müssen wir natürlich mit der dem Winkel ß gegenüberliegenden Seite beginnen. b- = a- + c 2 — 2 a c • cos ß. Nach cos ß entwickelt a 2 4- c 2 — b 2 / cos ß 2 ac Der Cosinussatz zeigt die beim Sinussatz erwähnte Tücke nicht. Ist der gesuchte Winkel ß stumpf, so zeigt sich das in der Rechnung selbsttätig an dadurch, daß der Zähler des Bruches negativ wird, d. h. daß b 2 größer ist als a 2 + c 2 . Negative Werte finden wir in der Funktions tafel nicht. Nach dem Satz vom Supplementwinkel ist cos ß = — cos (180 — ß). Für 180 — ß setzen wir ß'. , a 2 + c 2 — b 2 Ist cos ß dann ist cos ß' 2 ac b 2 - (a 2 4- c 2 ) 2 ac Wir rechnen also, wenn cos ß negativ wird, nicht dieses aus, sondern suchen ß', dürfen dann allerdings nachher nicht vergessen, daß nicht ß', sondern /?=180—ß' der gesuchte Winkel ist. Grundaufgabe 1. SWS 2. SWW 3. SSS 4. SSW Lösung durch Cosinussatz (Tangenssatz) Sinussatz Cosinussatz (Tangens des halben Winkels) Sinussatz Haben wir dadurch ein viertes Stück berechnet, dann nehmend von diesen vier Stücken die drei, die uns auf die bequemste Weise (dj wird meist der Weg über den Sinussatz sein) das fünfte Stück liefem. Zur Berechnung des einfachen Dreiecks reichen also unsere z» Bl Sätze aus. Damit ist freilich die Lehre von der Trigonometrie und i|» Anwendungsbereich keineswegs erschöpft. Es gibt insbesondere nock| Sätze über die Funktionen von Summen und Differenzen von Winkel* Formeln für Kontrollrechnungen, trigonometrische Lösung v « Gleichungen und vieles andere; aber das geht uns hier nichts an. N,. zwei Sätze wollen wir noch (ohne Ableitung) hier erwähnen, weil sie] besonders bequem sind und in unserer Rechnung manchmal mit Vorte' angewendet werden können (ohne indessen unbedingt nötig zu sein Das sind Da entsteht der kl« sehen d I Stellung 3. Der Tangenssatz: Schwierigkeiten treten also hier nicht auf; wohl aber ist der Cosi nussatz für die logarithmische Rechnung unbequem, weil Summen auf- treten, man also gezwungen ist, während der Rechnung von den Loga rithmen zu den Nummern zurückzukehren, wenigstens sofern man die Quadrate logarithmisch ausgerechnet hat. Hat man aber — wie in unserer Gaußschen Tafel — Tabellen für Quadrate, dann kann man diese benutzen, und die Unbequemlichkeit fällt zum größten Teil fort. Für alle vier Grundaufgaben haben wir eine Lösungsmöglichkeit erhalten. Wir stellen sie (vgl. auch S. 149) noch einmal zusammen: In Worten: Tangens der halben Differenz zweier! Dreieckswinkel ist gleich dem Quotienten aus dtJ Differenz und der Summe der beiden gegenüber! liegenden Seiten mal dem CoTangens der Hälfte dei| von ihnen eingeschlossenen Winkels. 4. Satz vom Tangens des halben Winkels: in 8 1 /(s — b)(s — c) g 2 / s■(s — a) j Diesen Satz in Worten auszusprechen, ist so umständlich, daß wir! darauf verzichten. Man beachte, das mit s die halbe Summe der dral Dreiecksseiten gemeint ist. Und man merkt sich rein gÄlächtnismäßijIdcm ' daß im Zähler und im Nenner des Bruches unter dem Wurzelzeichnlningen je ein Produkt aus zwei Seitenstücken auftritt, und zwar stehen inl ß e Zähler die Differenzen aus der halben Seitensumme und den e > D 'lErgebr schließenden Seiten und im Nenner außer der halben Seiten! summe selbst noch die Differenz aus der halben Seitensumme und derl^en gegenüberliegenden Seite. Nach dieser Regel kann man dann leicht die Formeln auch für die| beiden anderen Winkel aufstellen, z. B. für ß B 2 y s (s- (s —c) b) Der Tangenssatz liefert eine Lösung der ersten Gründaufgabe und hat gegenüber dem Cosinussatz den Vorteil, daß er durchgehend logt rithmische Berechnung gestattet. Man erhält aus ihm zunächst nur die Differenz zweier Dreieckswinkel, hier “• Da aber der Winkel' (ec bekannt ist, ist auch die Summe der beiden Dreieckswinkel bekannt: a4-ß = 180° —y oder trwei “ 4~ ß — qo o Z. 2 2 ■ U den vi pedeu Man schreibt: «4-ß 2 «-ß ce = ß = denn «4-0 . « — 4- = u und °4-0 «— = ß. 2 1 2 2 2 Damit hat man die beiden Winkel selbst erhalten. Der Satz vom Tangens des halben Winkels liefert eine Lösung d dritten Grundaufgabe und gestattet ebenfalls durchgehend jogaritlij mische Berechnung. Beide Sätze bieten in der Rechnung gewisse Vorteile: 1. Es kommen nur spitze Winkel vor. Man braucht also nicht darauf zu achten, ob man das Supplement nehmen muß. 2. Wie wir früher schon einmal erwähnten, werden die TafeldifM renzen nicht wie bei dem Sinus großer Winkel und dem Cosinus kleM Winkel sehr klein, sondern die kleinste Tafeldifferenz (bei 43°) ist i*J der fünfstelligen Tafel für 1' 25 der fünften Stelle, so daß man das' 1 gebnis auf mindestens 2" genau der Tafel entnehmen kann Der Tangenssatz hat einen Nachteil: Wenn die beiden Seiten nflto zu gleich sind, dann wird der Zähler sehr klein, z. B. bei fünfzifferig^*] Zahlen nur dreizifferig. Der Fehler, der durch das Weglassen t sechsten Ziffer entstanden ist, wird also prozentual 100 mal so g r und kann das Ergebnis merkbar beeinträchtigen; der Satz ist also diesem Fall mit Vorsicht anzuwenden. Ir ne si Eewar Bliede Sozial iestii fchuh fang : Seriell [ines für gi (rifft. Mil gericl Unac Iefo !uspr laß ( pn A aomr begri bring unter ierui unve Iefo kuff Iefo üahii len es ich lüss
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