Zum Aufgaben-Repertorium. 29 x i cos y 2 -f- y 2 cos j3 2 —(- 2 xy cos ßcosy — 2 x cos y (b cos y — C cos ß ) + 2 y cos ß (6 cos y — c ■ cos ß) = 0, also eine eingeschriebene Parabel, da B und C einander entsprechen und ebenso die beiden unendlich fernen Punkte. Der Brennpunkt wird erhalten, indem man noch eine vierte Tangente und die Um kreise zweier Tangentendreiecke bestimmt. Den Parameter erhält man nach dem in Nr. 1457 erwähnten Artikel von Salmon-Fiedler. Hellmann. 3. Lösung: H sei der Höhenschnitt und A 0 die Mitte von BC-, Durchmesser und Höhe aus A treffen den Umkreis in TJ und E. Weil B und C entsprechende Punkte sind, so verhalten sich die veränderlichen Strecken BQ und CP wie BI) zu CD, also ist die Umhüllungskurve eine eingeschriebene Parabel und wegen FB : FC = BD\CD ist der Brennpunkt F der Schnittpunkt der Gegen mittellinie des Dreiecks BCD mit dem Umkreise. Oder: Weil das Mittellot in A 0 Tangente ist, so ist HA 0 D die Leitlinie, und weil das auf eine beliebige Tangente genommene Spiegelbild der Leit linie durch den Brennpunkt geht, so geht A 0 E durch F. Ist z der Abstand des Punktes E von HD, so hat man jo = 2 • A 0 F ■ A 0 E : A 0 E- = a?z : HD 2 = a? ■ HE ■ DE = HD 3 £ = 4r sin a 2 cos ß cos y sin (y — /?) : (sin a 2 — 4 cos u • cos ß cos y) 2 • Kücxer. Stbgemann. Stoll. Trognitz. 1£60. (Gestellt von Pietzker XXVI g , 579.) Zu beweisen ist die Formel: - S1 °—== cos y <p • cos<p ■ cos<p • ■ • in inf, aus der übrigens durch die Annahme cp — y« sich die besondere Formel ergiebt -£■» = , j cob — re • cos — a • cos — st • • • 4: o 16 1. Beweis: Man betrachte eine Reihe von Kreissektoren, deren Bogen durch fortgesetztes Halbieren des zum ersten Sektor ge hörigen Bogens entstehen. Die Schwerpunkte dieser Bogen seien vom Mittelpunkte des zugehörigen Kreises (Radius r) um l, l u l 2 . . . entfernt. Hat nun der erste Sektor den Bogen 4 rep, so ist l = —g 1 “ y , für den nächstfolgenden Sektor, dessen Bogen 2 rep • 2r • sin cp ist, wird = — u. s. w. Hieraus folgt l = cos cp und entsprechend l, = l 2 cos ^-u. s. w. Mithin wird l==l„ cos cp cos y cos y ••• Durch unendlich fortgesetztes Halbieren gelangt man zu einem Sektor, der als gleichschenkliges Dreieck aufgefafst werden kann, dessen Höhe r ist, also wird l m = y r, mithin sin cp cp cp cp — = COS — COS ~ COS -T* • • • qP ä 4 o Pietzker.