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Leipziger Uhrmacher-Zeitung
- Bandzählung
- 16.1909
- Erscheinungsdatum
- 1909
- Sprache
- German
- Signatur
- I 787
- Vorlage
- Staatl. Kunstsammlungen Dresden, Mathematisch-Physikalischer Salon
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Nutzungshinweis
- Freier Zugang - Rechte vorbehalten 1.0
- URN
- urn:nbn:de:bsz:14-db-id20454421Z7
- PURL
- http://digital.slub-dresden.de/id20454421Z
- OAI-Identifier
- oai:de:slub-dresden:db:id-20454421Z
- Sammlungen
- Uhrmacher-Zeitschriften
- Technikgeschichte
- Bemerkung
- Original unvollständig: S. 255-256 fehlen
- Strukturtyp
- Band
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Ausgabebezeichnung
- Nr. 4 (15. Februar 1909)
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Ausgabe
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Titel
- Spiralen und ihre isochronischen Eigenschaften (Fortsetzung)
- Autor
- Weser, J. F.
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Artikel
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
Inhaltsverzeichnis
- ZeitschriftLeipziger Uhrmacher-Zeitung
- BandBand 16.1909 -
- TitelblattTitelblatt -
- InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis III
- AusgabeNr. 1 (1. Januar 1909) 1
- AusgabeNr. 2 (15. Januar 1909) 17
- AusgabeNr. 3 (1. Februar 1909) 33
- AusgabeNr. 4 (15. Februar 1909) 49
- ArtikelDeutsche Uhrmacher-Vereinigung, Zentralstelle zu Leipzig 49
- ArtikelGarantiegemeinschaft Deutscher Uhrmacher (E. V.) 50
- ArtikelNoch einmal das Gläsersyndikat 50
- ArtikelKünstliche Turmuhren im Mittelalter 52
- ArtikelElektrizität und Magnetismus (Fortsetzung) 54
- ArtikelSpiralen und ihre isochronischen Eigenschaften (Fortsetzung) 56
- ArtikelAus der Werkstatt - Für die Werkstatt 58
- ArtikelDie Leipziger Ostervormesse 58
- ArtikelVereinsnachrichten 59
- ArtikelPersonalien 60
- ArtikelGeschäftliche Mitteilungen 60
- ArtikelGeschäftsnachrichten 60
- ArtikelVermischtes 61
- ArtikelFragekasten 62
- ArtikelBriefkasten und Rechtsauskünfte 64
- ArtikelBüchertisch 64
- ArtikelPatente 64
- AusgabeNr. 5 (1. März 1909) 65
- AusgabeNr. 6 (15. März 1909) 85
- AusgabeNr. 7 (1. April 1909) 101
- AusgabeNr. 8 (15. April 1909) 117
- AusgabeNr. 9 (1. Mai 1909) 133
- AusgabeNr. 10 (15. Mai 1909) 149
- AusgabeNr. 11 (1. Juni 1909) 165
- AusgabeNr. 12 (15. Juni 1909) 181
- AusgabeNr. 13 (1. Juli 1909) 197
- AusgabeNr. 14 (15. Juli 1909) 213
- AusgabeNr. 15 (1. August 1909) 229
- AusgabeNr. 16 (15. August 1909) 245
- AusgabeNr. 17 (1. September 1909) 261
- AusgabeNr. 18 (15. September 1909) 277
- AusgabeNr. 19 (1. Oktober 1909) 293
- BeilageDes Uhrmachers Nebenberufe 307
- AusgabeNr. 20 (15. Oktober 1909) 313
- BeilageDes Uhrmachers Nebenberufe 328
- AusgabeNr. 21 (1. November 1909) 333
- BeilageDes Uhrmachers Nebenberufe 351
- AusgabeNr. 22 (15. November 1909) 353
- BeilageDes Uhrmachers Nebenberufe 371
- AusgabeNr. 23 (1. Dezember 1909) 373
- BeilageDes Uhrmachers Nebenberufe 394
- AusgabeNr. 24 (15. Dezember 1909) 397
- BeilageDes Uhrmachers Nebenberufe 415
- BandBand 16.1909 -
- Titel
- Leipziger Uhrmacher-Zeitung
- Autor
- Links
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Nr. 4 LEIPZIGER UHRMACHER-ZEITUNG 57 Winkel, den Leitstrahl und Tangente bilden, zu 84° angenommen, was dann einem Mittelpunktswinkel von 6° entspricht oder 360° = 60 gleiche Mittelpunktswinkel ergibt. Nun ist die Lösung dieser Aufgabe mit nur elementaren Mitteln etwas umständlich, weshalb wir zu der einfacheren trigonometrischen Berechnung greifen. Setzen wir den winkelrechten Abstand h = 3, so sind uns von dem Dreiecke hlv (Figur 8) bekannt: die Seite h und der Mittelpunktswinkel a. Nun ist nach den Lehren der Trigonometrie in diesem rechtwinkligen Dreiecke h = l- cosa oder umgekehrt: j .^ l = . Setzt man jetzt l statt h , so ergibt untenstehende cosa Rechnung eine Reihe l, 4, 1. 2 , l 3 , 4, 4> l 6 , • welche die auf einanderfolgenden Leitstrahlen darstellen. Ist also / beispielsweise = 3,000000, so ist: 3,000000 0,994522 = 3 < 016524 > = 3,033139, = 3,049846, = 3,066645, = 3,083536, = 3,100521 usf. Bildet ein Verhäl / _ / _ COSa cos6° 3,016524 ... cos6° ~ 0,994522 4 3,033139 cos6° “ 0,994522 3,049846 cos6° 0,994522 4 cos 6° 4 cos 6° 3,066645 0,994522 3,083536 0,994522 man jetzt je aus zwei aufeinanderfolgenden Leitstrahlen nis, so muß deren Quotient eine konstante Zahl sein: 3,016524 3,000000 = 1,005508, 4 __ 3,033139 005508 4 3,016524 1 >005508, 3.049846 3,033139 3.066645 3.049846 3.083536 3.066645 3,100521 = 1,005508, = 1,005508, = 1,005508, = 1,005508 Fig. 24 3,083536 Da das Verhältnis der Leitstrahlen also konstant ist, können wir diese Eigenschaft auch auf die Umgänge ausdehnen und sagen, daß das Verhältnis der Umgänge konstant oder alle weiteren Um gänge dieselbe Charakteristik der Stammform oder des ersten Um ganges besitzen. Wie bei der zylindrischen Spirale gezeigt, macht es also keinen Unterschied für die isochronischen Beziehungen, wie viele Umgänge oder welche Länge die Spirale besitzt, wenn nur das Verhältnis der Krümmung zur Länge für alle Umgänge ein einheitliches, harmonisches ist und bleibt. Die geforderte Eigen schaft ist also erfüllt, die Beziehungen der Leitstrahlen zueinander sind einheitliche, wie wir dies beim Kreise gefunden haben, wo ^ = - 3 - ... = 1 ist. r r \ r 2 Durch Umkehrung der obigen Verhältnisse ergibt sich wieder der zugrunde gelegte konstante Winkelwert und aus der Verbindung zweier benachbarten Verhältnisse die Proportion: /: 4 = 4 : 4, wonach also ein Leitstrahl immer das geometrische Mittel, die mittlere geometrische Proportionale des vorhergehenden und folgenden Strahles, ist, welches behufs Interpolation oder Ein schaltung von Zwischenstrahlen oder Punkten ein leichtes Mittel bietet. Ist zu diesem Zwecke beispielsweise 1 = 3, 4 = 5, 4 aber gesucht, so ist, weil in obiger Proportion / • l 2 = 4 also gleich dem Produkte 3-5=15, 4 gleich der Wurzel oder fT5 = 3,8730. Würde man die obige Konstruktion oder Formel ^ statt nach cosa außen also zunehmend oder positiv, abnehmend nach innen, negativ ausgeführt haben, so wäre die Formel Z-cosa anzuwenden. Mit der Erfüllung obiger Bedingungen ist aber auch dem für jede Zentralbewegung so wichtigen Flächengesetze, wonach für eine konstante Geschwindigkeit die von dem Leitstrahle beschriebene oder durchstrichene Fläche in gleichen Zeiten um gleich viel zu nimmt, oder daß die Geschwindigkeitsmomente in bezug auf den Mittelpunkt gleich bleiben, Genüge geleistet, woraus sich jetzt ergibt, daß die der Zeit propor tionalen, durchlaufenen Wege kleiner bei großen und größer bei kleineren Kreisen oder Umgängen sind. - Ist zur Erklärung dieses Gesetzes O in Figur 24 der Mittelpunkt einer Spirale und LE ein von dem beweglichen Punkte durchlaufenes Bahnstück. Durch streicht jetzt der Leitstrahl AO = l in etwa 1 4o einer Sekunde die Fläche AOB, so ist der von dem Ende des selben durchlaufene Weg = AB-, für einen dem Mittelpunkte O näher ge legenen Teil der Bahn sei A 1 B 1 der in derselben Zeit durchlaufene Weg, dann muß die von dem Leitstrahle OA x = 4 durchstrichene Fläche gleich der ersten sein, oder indem man die tangentialen Abstände h und h 7 der beiden Geschwindigkeiten V und V x bestimmt, muß V • h = V 7 - h 7 sein, wodurch die Gleichheit der Geschwindigkeitsmomente erwiesen ist. Nachdem wir die Eigenschaften der Leitstrahlen und der Tangentenabstände genügend besprochen haben, gelangen wir jetzt zu der dritten Art: den Krümmungshalbmessern. Aus der Winkelgleichheit aller Teile der Spirale ergibt sich leicht die Proportionalität derselben mit den ihnen zugehörigen Leitstrahlen oder die Identität der Krümmungs halbmesser mit den Normalen n der Figur 25. Sind nun P 7 ,P 6 , P s , ... auf den gemeinsamen Leitstrahl / zu- rückgeführteKur- venpunkte der Spirale (welche selbstverständ lich mit der Kon struktion über- einstimmenmüs- sen), so ent sprechen diesen Punkten dieNor- l r deren Mittel- mit der in O malen oder Krümmungshalbmesser n 7 , n 6 punkte in den Durchschnittspunkten M 7 , A4, auf den Leitstrahl errichteten Winkelrechten gegeben und deren Ab stände a 7 , a e , a 6 , ... von O wiederum proportional den bezüg lichen Leitstrahlen 4,4,4, • • • der Figur sind. Beschreiben wir jetzt mit den Krümmungshalbmessern n 7 , n 6 , n 6 , ... von M 7 , M e , M. , ... aus in P 7 , P 6 , P 5 , • • • einen ganz kleinen Kurventeil, ziehen winkelrecht auf n 7 , n e , n s , ... die diesen Kurvenpunkten ent sprechenden Tangenten v 7 , v 6 , v 6 , ..., auf ihre Verlängerungen aber von O die Winkelrechten h 7 , h 6 , h s , so erhalten wir ein recht übersichtliches Bild der mechanischen Eigenschaften der Spirale. Wir ersehen aus dieser Figur, wie in P 7 , P a , P 6 , ••• die tangentialen Richtungen v 7 , v 6 , v 5 , ... oder die Kurventeile oder
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