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Die Uhrmacherkunst
- Bandzählung
- 52.1927
- Erscheinungsdatum
- 1927
- Sprache
- Deutsch
- Vorlage
- Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V., Bibliothek
- Digitalisat
- Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V.
- Lizenz-/Rechtehinweis
- CC BY-SA 4.0
- URN
- urn:nbn:de:bsz:14-db-id318594536-192701007
- PURL
- http://digital.slub-dresden.de/id318594536-19270100
- OAI-Identifier
- oai:de:slub-dresden:db:id-318594536-19270100
- Sammlungen
- Technikgeschichte
- Uhrmacher-Zeitschriften
- Strukturtyp
- Band
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Ausgabebezeichnung
- Nr. 23 (3. Juni 1927)
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Ausgabe
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
- Titel
- Das Pendel
- Autor
- Giebel, K.
- Digitalisat
- SLUB Dresden
- Strukturtyp
- Artikel
- Parlamentsperiode
- -
- Wahlperiode
- -
Inhaltsverzeichnis
- ZeitschriftDie Uhrmacherkunst
- BandBand 52.1927 -
- TitelblattTitelblatt -
- InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis III
- AusgabeNr. 1 (1. Januar 1927) 1
- AusgabeNr. 2 (7. Januar 1927) 15
- AusgabeNr. 3 (14. Januar 1927) 27
- AusgabeNr. 4 (21. Januar 1927) 43
- AusgabeNr. 5 (28. Januar 1927) 57
- AusgabeNr. 6 (4. Februar 1927) 73
- AusgabeNr. 7 (11. Februar 1927) 89
- AusgabeNr. 8 (18. Februar 1927) 107
- AusgabeNr. 9 (25. Februar 1927) 127
- AusgabeNr. 10 (4. März 1927) 149
- AusgabeNr. 11 (11. März 1927) 165
- AusgabeNr. 12 (18. März 1927) 183
- AusgabeNr. 13 (25. März 1927) 201
- AusgabeNr. 14 (1. April 1927) 221
- AusgabeNr. 15 (8. April 1927) 241
- AusgabeNr. 16 (15. April 1927) 261
- AusgabeNr. 17 (22. April 1927) 283
- AusgabeNr. 18 (29. April 1927) 301
- AusgabeNr. 19 (6. Mai 1927) 321
- AusgabeNr. 20 (13. Mai 1927) 341
- AusgabeNr. 21 (20. Mai 1927) 363
- AusgabeNr. 22 (27. Mai 1927) 381
- AusgabeNr. 23 (3. Juni 1927) 399
- ArtikelListe der Fabrikanten und Grossisten, die eine Erklärung ... 399
- ArtikelUmsatzsteigerung durch Reiseuhrpropaganda 401
- ArtikelDas Pendel 402
- ArtikelElektrische Autouhren 405
- ArtikelErfolg und Lebensfreude (Fortsetzung) 406
- ArtikelSprechsaal 407
- ArtikelSteuer- und Aufwertungsfragen 411
- ArtikelVerschiedenes 412
- ArtikelInnungs- u. Vereinsnachrichten 415
- ArtikelPatentschau 418
- ArtikelFrage- und Antwortkasten 418
- ArtikelEdelmetallmarkt 418
- ArtikelAnzeigen -
- Artikel20 Jahre Tätigkeit für die Uhrmacherkunst -
- AusgabeNr. 24 (10. Juni 1927) 419
- AusgabeNr. 25 (17. Juni 1927) 433
- AusgabeNr. 26 (24. Juni 1927) 455
- AusgabeNr. 27 (1. Juli 1927) 475
- AusgabeNr. 28 (8. Juli 1927) 497
- AusgabeNr. 29 (15. Juli 1927) 513
- AusgabeNr. 30 (22. Juli 1927) 529
- AusgabeNr. 31 (29. Juli 1927) 545
- AusgabeNr. 32 (5. August 1927) 565
- AusgabeNr. 33 (12. August 1927) 581
- AusgabeNr. 34 (19. August 1927) 599
- AusgabeNr. 35 (26. August 1927) XII
- AusgabeNr. 36 (2. September 1927) 633
- AusgabeNr. 37 (9. September 1927) 649
- AusgabeNr. 38 (16. September 1927) 665
- AusgabeNr. 39 (23. September 1927) 683
- AusgabeNr. 40 (30. September 1927) 703
- AusgabeNr. 41 (7. Oktober 1927) 721
- AusgabeNr. 42 (14. Oktober 1927) 743
- AusgabeNr. 43 (21. Oktober 1927) 759
- AusgabeNr. 44 (28. Oktober 1927) 777
- AusgabeNr. 45 (4. November 1927) 805
- AusgabeNr. 46 (11. November 1927) 823
- AusgabeNr. 47 (18. November 1927) 841
- AusgabeNr. 48 (25. November 1927) 861
- AusgabeNr. 49 (2. Dezember 1927) 879
- AusgabeNr. 50 (9. Dezember 1927) 895
- AusgabeNr. 51 (16. Dezember 1927) 913
- AusgabeNr. 50 (23. Dezember 1927) 933
- BandBand 52.1927 -
- Titel
- Die Uhrmacherkunst
- Autor
- Links
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404 DIE UHRMACHERKUNST Nr. 23 Brechen wir nach dem zweiten Gliede ab, so ver nachlässigen wir 0,000099, brechen wir nach dem dritten Gliede ab, so ist unser Fehler 0,00000099. Wir sehen, da& bei kleinerem x der Fehler schnell kleiner wird, oder — wie wir sagen — die Reihe schärfer konvergiert. Wir sehen aber auch an diesem Beispiel, welchen Vorteil die binomische Entwickelung gewährt, nämlich unbequeme Ausdrücke in bequeme Reihen zu entwickeln, von denen ganz wenig Glieder (für uns meist zwei, höchstens drei) genügen, um die von uns verlangte Genauigkeit zu erreichen. Ähnliche unbequeme Ausdrücke sind: 2) —= (t _ xi 1 —x (2 b) Tzr^ ==1 + x + x2 + x3 + • ‘ •’ wie man auch durch Ausdividieren leicht finden kann. Hier liegen die Genauigkeitsverhältnisse fast ebenso wie bei dem ersten Beispiel. tK) =1 + T x 1 -2 --X2 tKH) Vl+ x =1 -J- 1 -2.3 x-jx* + 16 x3 —... (2c) 4) U — (1 _ x) 2 =1 — x L x 2 L X 3 11 X J —1 2 X 8 x 16 X ... (2d) Bei diesen beiden Reihen liegen die Genauigkeits verhältnisse noch günstiger als bei den ersten beiden Beispielen. Z. B. ist 0,1 = 1,048768, während die ersten beiden Glieder der zugehörigen Reihe 1,05 ergeben, also nur um 0,00123 vom genauen Werte abweichen. Zur Vervollständigung unserer Beispiele wollen wir noch zwei häufig vorkommende Werte entwickeln: 1 (l + xf ? =1--ix + Ax !! _A x 3 + ...,2e) 5) 6) Ti+x l 16 (1 —x) , +^ x + T x2 + Ä x8 +' 12f) ruT* 1 2 die zwar nicht ganz so gut wie die beiden vorhergehenden, aber besser als die beiden ersten Reihen konvergieren. Wir haben in diesen Beispielen den ersten Summanden des Binoms gleich 1 angenommen. Das ist natürlich von vornherein nicht immer so, aber durch einfache Umformung kann man den Ausdruck immer auf eine solche oder eine ähnliche Form bringen (wie wir das bei dem ersten, aus führlich durchgerechneten Beispiel gemacht haben). Das hat den Vorzug, da| dieser erste Summand in dem zweiten und den folgenden Gliedern nicht mehr auftritt, da alle Potenzen von 1 wieder 1 sind. So fallen alle gebrochenen und negativen Exponenten fort, und die Reihe ist eine reine Potenzreihe mit ganzen positiven Exponenten von x. Die Grö&e dieses Wertes x hält sich bei uns im allgemeinen unter 0,1, so datj wir, wie schon gesagt, meist mit zwei bis drei Gliedern auskommen. In solche Potenzreihen lassen sich auch die trigono metrischen und die Kreisfunktionen entwickeln. Da diese lefeteren in den Lehrbüchern meist recht stiefmütterlich behandelt werden, wollen wir das Notwendigste darüber hier sagen. Die Kreisfunktionen Wenn man um den Scheitel eines Winkels einen Kreis mit dem Halbmesser 1 (cm, dm, m usw.) schlägt, so kann man die Gröfje des Winkels auch durch das auf dem Kreisumfang gemessene Bogenmaß ausdrücken. Ist der Halbmesser 1, so ist der zum Winkel von 360° gehörige ganze Umfang des Einheitskreises 2 tc = 6,28318 ... Zu 2 jt einem Winkel von 1° gehört demnach - = 0,0174533 (im 360 selben Majj gemessen wie der Halbmesser). In fast allen Logarithmentafeln findet sich eine Tabelle zum Umrechnen von Winkelmaß im Bogenmaß. Das Bogenmaß drückt man aus durch arc (Arkus - Bogen), z. B. arc 32° 17'35" = 0,56363. In einem Kreise mit dem Halbmesser r ist der zum Winkel a gehörige Bogen b = r-arca. Wenn man beim Zeichnen verlangt, dajj auf einem Kreise 1 mm einem Winkel von 1° entspricht, so hat man die Gleichung: 1 mm = r arc 1° = r-0,0174533, woraus man für den Halbmesser r findet: r = , 0,0174533 r = 57,296 mm oder abgerundet r = 57,3 mm. Der Arkus wird nicht nur zum Winkel in Beziehung gesell, sondern auch zu den trigonometrischen Funktionen. Nehmen wir an, in Abb. 1 sei nicht der Winkel y bekannt, wohl aber die Strecke AC = c und der Halbmesser r, und ge sucht sei arc y = DE. Dann suchen wir also den Arkus, dessen Sinus bekannt ist, denn sin y c = —. Man drück! das r Q kurz so aus: DE = arc sin —. Man kann sich denken, r dajj es Tafeln gibt, aus denen zu jedem Sinuswert der zugehörige Arkuswert zu entnehmen ist. Diese Tafeln finden sich aber in den gebräuchlichen Loga rithmentafeln nicht, weshalb man den Umweg ein- schlagen mu[j, zuerst aus dem Sinuswert den Winkelwert und aus diesem den Arkuswert zu bestimmen. Es sei c 3 5 z.B. r = 7 mm und c = 3,5 mm. Dann ist sin y = — = ’ ' r 7 = 0,5. Aus der Sinustafel finden wir (sofern wir es nicht so wissen) y = 300, und aus der arc-Tafel finden wir 3 5 dazu arc 300 = 0,52360, so da& sich ergibt. DE = arc sin^- = arc sin 0,5 = 0,52360, oder in Worten: Der Arkus zum Sinus 0,5 ist 0,52360. Hätten wir statt DE den Bogen AB gesucht, so wäre AB = r . arc sin — = 7- 0,52360 r = 3,64520 mm. Wir dürfen natürlich nicht den^Faktor r gegen den Nenner r im Funktionswert kürzen, sehen aber, datj der Bogen b nur um wenig gröjjer ist als die Strecke c. Ist der Winkel y sehr klein, so kann man angenähert b = c sefeen. Ist z. B. c = 0,5 mm und r = 7 mm, so ist sin y = ^ = 0,071 43 und y = 4° 5'45, T, dazu arc sin ^ = arc 40 5'45,7" = 0,07148 oder b = 7-arc Abb. 1 sin = 0,50036. Hätten wir unmittelbar c statt b gesefet, also b = 0,50000 statt 0,50036, so hätten wir einen Fehler von 0,70/^, gemacht. Ebenso wie zum Sinuswert kann man auch zu Werten der anderen trigonometrischen Funktionen den Arkus
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